非线性系统【四】|比较函数，非自治系统

定义4.2

如果连续函数α:[0,α)→[0,∞)\alpha:[0,\alpha)\rightarrow[0,\infty)α:[0,α)→[0,∞)是严格递增的，且α(0)=0\alpha(0)=0α(0)=0，则α\alphaα属于κ\kappaκ类函数。如果α=∞\alpha=\inftyα=∞，且当rrr趋近于无穷时，α(r)\alpha(r)α(r)趋近于无穷，则α\alphaα属于κ∞\kappa_{\infty}κ∞​函数。

定义4.3

对于连续函数β:[0,α)×[0,∞)→[0,∞)\beta:[0,\alpha) \times [0, \infty)\rightarrow[0,\infty)β:[0,α)×[0,∞)→[0,∞)如果对于每个固定的s，映射β(r,s)\beta(r,s)β(r,s)都是关于r的κ\kappaκ函数，并且对于每个固定的r，映射β(r,s)\beta(r,s)β(r,s)是s的递减函数，且当s趋近于无穷时κ\kappaκ趋近于0，则β\betaβ属于KL\mathcal{K} \mathcal{L}KL函数

引理4.2

设α1\alpha_1α1​和α2\alpha_2α2​是[0,a)[0,a)[0,a)上的K\mathcal{K}K函数，α3\alpha_3α3​和α4\alpha_4α4​是K∞\mathcal{K}_{\infty}K∞​函数，β\betaβ是KL\mathcal{K}\mathcal{L}KL函数，αi−1\alpha^{-1}_iαi−1​是αi\alpha_iαi​的反函数，则

• α1−1\alpha^{-1}_1α1−1​在[0,α1(a))[0,\alpha_1(a))[0,α1​(a))上有定义，且属于K\mathcal{K}K类函数
• α3−1\alpha^{-1}_3α3−1​在[0,∞[0,\infty[0,∞上有定义，且属于K∞\mathcal{K}_{\infty}K∞​类函数
• α1⊙α2\alpha_1 \odot \alpha_2α1​⊙α2​属于K\mathcal{K}K类函数
• α3⊙α4\alpha_3 \odot \alpha_4α3​⊙α4​属于K∞\mathcal{K}_{\infty}K∞​类函数
• σ(r,s)=α(β(α2(r),s))\sigma(r,s)=\alpha(\beta(\alpha_2(r), s))σ(r,s)=α(β(α2​(r),s))属于KL\mathcal{K} \mathcal{L}KL函数

引理4.3

设V:D→RV:D\rightarrow RV:D→R是定义域为D⊂RnD\subset R^nD⊂Rn且包含原点的连续正定函数，并设对于某个r>0r>0r>0有Br⊂DB_r \subset DBr​⊂D,则对于所有的x∈Brx \in B_rx∈Br​,存在定义在[0,r][0, r][0,r]上的K\mathcal{K}K类函数α1\alpha_1α1​和α2\alpha_2α2​，满足
α1(∣∣x∣∣)≤V(x)≤α2(∣∣x∣∣)\alpha_1(||x||) \leq V(x) \leq \alpha_2(||x||) α1​(∣∣x∣∣)≤V(x)≤α2​(∣∣x∣∣)
如果D=RnD = R^nD=Rn且V(x)V(x)V(x)是径向无界的，则存在K∞\mathcal{K}_\inftyK∞​ 类函数α1\alpha_1α1​和α2\alpha_2α2​，使得上式对于任意x∈Rnx \in R^nx∈Rn都成立。

引理4.4

考虑标量自治可微方程y˙=−α(y)\dot{y}=-\alpha(y)y˙​=−α(y),y(t0)=y0y(t_0)=y_0y(t0​)=y0​
其中α\alphaα是定义在[0,1)[0,1)[0,1)上的局部利普希兹K\mathcal{K}K类函数。对于所有的0≤y0≤α0\leq y_0 \leq \alpha0≤y0​≤α，当t≥t0t \geq t_0t≥t0​时方程有唯一解y(t)y(t)y(t)，且
y(t)=σ(y0,t−t0)y(t) = \sigma(y_0, t-t_0) y(t)=σ(y0​,t−t0​)
其中σ\sigmaσ是定义在[0,α)×[0,∞)[0,\alpha) \times [0, \infty)[0,α)×[0,∞)上的KL\mathcal{K} \mathcal{L}KL类函数。

引理4.5

对于方程x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的平衡点x=0x=0x=0，如果存在正常数ccc,kkk和λ\lambdaλ,满足
∣∣x(t)∣∣≤k∣∣x(t0)∣∣e−λ(t−t0),∀∣∣x(t0)∣∣≤c||x(t)||\leq k||x(t_0)||e^{-\lambda(t-t_0)},\forall ||x(t_0)|| \leq c ∣∣x(t)∣∣≤k∣∣x(t0​)∣∣e−λ(t−t0​),∀∣∣x(t0​)∣∣≤c
则该平衡点是指数稳定的。如果上式对于任何初始状态x(t0)x(t_0)x(t0​)都成立，则该平衡点是全局指数稳定的。

定理4.8

设x=0x=0x=0是方程x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的一个平衡点，D⊂RnD \subset R^nD⊂Rn是包含x=0x=0x=0的定义域，V:[0,∞)×D→RV:[0,\infty) \times D \rightarrow RV:[0,∞)×D→R是连续可微函数，且满足
W1(x)≤V(t,x)≤W2(x)W_1(x) \leq V(t,x) \leq W_2(x) W1​(x)≤V(t,x)≤W2​(x)
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤0\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} f(t,x) \leq 0 ∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤0
∀t≥0\forall t \geq 0∀t≥0，∀x∈D\forall x \in D∀x∈D其中W1(x)W_1(x)W1​(x)和W2(x)W_2(x)W2​(x)都是DDD上的连续正定函数。那么x=0x=0x=0是一致稳定的。

定理4.9

假设定理4.8中的假定条件都满足不等式∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤0\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} f(t,x) \leq 0∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤0的加强形式
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤−W3(x)\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} f(t,x) \leq -W_3(x) ∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤−W3​(x)
∀t≥0\forall t \geq 0∀t≥0，∀x∈D\forall x \in D∀x∈D,其中W3(x)W_3(x)W3​(x)是DDD上的连续正定函数。那么x=0x=0x=0是一致渐进稳定的。如果选择W1(x)≥α1(∣∣x∣∣),W2(x)≤α2(∣∣x∣∣)W_1(x) \geq \alpha_1(||x||), W_2(x) \leq \alpha_2(||x||)W1​(x)≥α1​(∣∣x∣∣),W2​(x)≤α2​(∣∣x∣∣)，且rrr和ccc满足Br={∣∣x∣∣≤r}⊂DB_r=\{||x|| \leq r\} \sub DBr​={∣∣x∣∣≤r}⊂D和c≤α1(r)c \leq \alpha_1(r)c≤α1​(r)，则始于{x∈Br∣W2(x)≤c}{ \{x \in B_r | W_2(x) \leq c \}}{x∈Br​∣W2​(x)≤c}的每条轨线对于某个KL\mathcal{K} \mathcal{L}KL类函数β\betaβ都满足
∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣t−t0∣∣,t−t0),∀t≥t0≥0||x(t)|| \leq \beta(||t-t_0||, t-t_0), \forall t\geq t_0 \geq0 ∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣t−t0​∣∣,t−t0​),∀t≥t0​≥0
如果D=RnD=R^nD=Rn和W1(x)W_1(x)W1​(x)是镜像误解，则x=0x=0x=0是全局一致渐进稳定的。