目录

• 1.超定线性方程组与最小二乘解
• 2.求解超定方程组的三种方法
• 3.参考链接

1.超定线性方程组与最小二乘解

    超定线性方程组：方程的个数大于解个数，方程组是无解的，但是我们可以求得其最小二乘解。

2.求解超定方程组的三种方法

    此处使用的三种求解方法为：SVD分解，QR分解，正规矩阵(normal equation)。在这三种方程中，SVD分解通常准确率最高，但是速度最慢；正规矩阵速度最快，但是准确率最低；QR分解位于两者之间。当方程组中的常数矩阵发生微小的扰动时，会导致最终的结果发生较大的变化，这种结果的不稳定不是因为方程求解的方法，而是方程组矩阵本身的问题。这回给我们带来很大的危害，例如像上面的情况，计算机求解出现舍入误差，矩阵本身不好的话会直接导致结果失败。
当对矩阵A或者b进行小扰动的时候，最后影响结果的是 ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ||A|| \cdot ||A^{-1}||∣∣A∣∣⋅∣∣A
−1
∣∣，与矩阵病态性成正相关。定义矩阵的条件数 c o n d ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ cond(A)= ||A|| \cdot ||A^{-1}||cond(A)=∣∣A∣∣⋅∣∣A
−1
∣∣ 来描述矩阵的病态程度，一般认为小于100的为良态，条件数在100到1000之间为中等程度的病态，条件数超过1000存在严重病态。以上面的矩阵A为例，采用2范数的条件数 c o n d ( A ) = 222.9955 cond(A)=222.9955cond(A)=222.9955 矩阵处于中等病态程度。

3.参考链接

0.超定线性方程组:https://zhuanlan.zhihu.com/p/166060195
1.Eigen求最小二乘解:https://blog.csdn.net/weixin_46581517/article/details/105178304
2.C++通过Eigen库实现最小二乘法的三种方法:https://blog.csdn.net/weijimin1/article/details/109184998
3.【动手学MVG】矩阵分解与线性方程组的关系，求解线性方程组实战代码:https://blog.csdn.net/a435262767/article/details/108774141
4.SVD的应用：求解Ax=b：https://blog.csdn.net/a435262767/article/details/108774141