版权声明

本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

排列

由1,2,…,n1,2,\ldots,n1,2,…,n组成的有序数组称为一个nnn阶排列，通常使用j1j2…jnj_1j_2\ldots j_nj1j2…jn表示nnn阶排列。例如：
j1j2j3j4=9527j_1j_2j_3j_4=9527j1j2j3j4=9527
在排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面，就称这两个数构成了一个逆序。一个排列逆序的总数称为这个排列的逆序数。通常用τ(j1j2…jn)\tau(j_1j_2\ldots j_n)τ(j1j2…jn)表示排列j1j2…jnj_1j_2\ldots j_nj1j2…jn的逆序数。例如：
τ(9527)=4\tau(9527)=4τ(9527)=4

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列。
如果一个排列的逆序数是奇数，则称这个排列是奇排列。

对换是指交换排列中任意两个元素的位置。

如果对一个排列进行奇数次对换那么将改变排列的奇偶性。
如果对一个排列进行偶数次对换那么将不会改变排列的奇偶性。

一个nnn阶排列经过对换可以得到n!n!n!个不同的排列，并且在这n!n!n!个不同的排列中，奇偶排列各占一半。

行列式

行列式的由来

现有一二元一次方程组：
{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2x=c2(2)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1(1)\\ a_2x+b_2x=c_2(2) \end{cases}{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2x=c2(2)
欲求xxx，由(1)×b2−(2)×b1(1)\times b_2-(2)\times b_1(1)×b2−(2)×b1得：
(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1
在研究方程组求解的过程中数学家发现两个数相乘减两个数相乘是回避不掉的，于是数学家将这一过程单独提炼出来并写成以下形式：
∣a1b1a2b2∣x=∣c1b1c2b2∣\begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{vmatrix}x= \begin{vmatrix} c_1&b_1\\ c_2&b_2 \end{vmatrix} a1a2b1b2x=c1c2b1b2
当
∣a1b1a2b2∣=a1b2−a2b1≠0\begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\neq0 a1a2b1b2=a1b2−a2b1=0
时xxx有唯一解：
x=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣x=\frac{\begin{vmatrix} c_1&b_1\\ c_2&b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{vmatrix}} x=a1a2b1b2c1c2b1b2
那么就将∣abcd∣\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}acbd这种形式的数称为行列式。

行列式的概念

行列式是不同行不同列nnn个元素乘积的代数和：

∣A∣=∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣=∑j1j2…jn(−1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn|A|=\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\ldots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\ldots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n} ∣A∣=a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann=j1j2…jn∑(−1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn
这个式子称为行列式∣A∣|A|∣A∣的nnn阶完全展开式，共有n!n!n!项。

对于二阶三阶行列式有对角线法则：
- 2阶行列式：∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bcacbd=ad−bc
- 3阶行列式：
  ∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2 a1b1c1a2b2c2a3b3c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2
行列式的转置：转置是指将行列式的行和列互换。行列式∣A∣|A|∣A∣的转置行列式记为∣AT∣|A^T|∣AT∣。
余子式和代数余子式：将行列式的第iii行和第jjj列去掉，那么剩下的行列式就是aija_{ij}aij的余子式，记为MijM_{ij}Mij，并记Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij为aija_{ij}aij的代数余子式。

行列式的性质

经转置行列式的值不变，即∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣
某行有公因式kkk，可把公因式kkk提到行列式外。
∣…………kai1kai2…kain…………∣=k∣…………ai1ai2…ain…………∣\begin{vmatrix} \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\dots&ka_{in}&\\ \dots&\dots&\dots&\dots \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}&\\ \dots&\dots&\dots&\dots \end{vmatrix} …kai1……kai2……………kain…=k…ai1……ai2……………ain…
特别的：某行元素全为零，则行列式为000。
对换行列式某两行的位置，行列式变号。特别的：
- 两行相等，行列式为000，即∣A∣=−∣A∣,∣A∣=0|A|=-|A|,|A|=0∣A∣=−∣A∣,∣A∣=0
- 两行成比例，行列式为000，即k∣A∣=−k∣A∣,∣A∣=0k|A|=-k|A|,|A|=0k∣A∣=−k∣A∣,∣A∣=0
某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和。∣a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3∣=∣a1a2a3c1c2c3d1d2d3∣+∣b1b2b3c1c2c3d1d2d3∣\begin{vmatrix}a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}a1+b1c1d1a2+b2c2d2a3+b3c3d3=a1c1d1a2c2d2a3c3d3+b1c1d1b2c2d2b3c3d3
行列式某行的kkk倍加至另一行，行列式不变。
∣a1+kb1a2+kb2a3+kb3b1b2b3c1c2c3∣=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣+k∣b1b2b3b1b2b3c1c2c3∣=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣\begin{vmatrix} a_1+kb_1&a_2+kb_2&a_3+kb_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} {+}k \begin{vmatrix} b_1&b_2&b_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} a1+kb1b1c1a2+kb2b2c2a3+kb3b3c3=a1b1c1a2b2c2a3b3c3+kb1b1c1b2b2c2b3b3c3=a1b1c1a2b2c2a3b3c3
按行按列展开式：
- 按iii行展开：∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=∑j=1naijAij|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=j=1∑naijAij
- 按jjj列展开：∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=∑i=1naijAij|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=i=1∑naijAij
某一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于000：
a11A31+a12A32+a13A33=0a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33}=0\\ a11A31+a12A32+a13A33=0
证明：已知
∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣|A|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} ∣A∣=a11a21a31a12a22a32a13a23a33
构造以下行列式：
∣B∣=∣a11a12a13a21a22a23a11a12a13∣=0=a11A31+a12A32+a13A33|B|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \end{vmatrix} =0 =a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33} ∣B∣=a11a21a11a12a22a12a13a23a13=0=a11A31+a12A32+a13A33
因为∣B∣|B|∣B∣的A31A_{31}A31，A32A_{32}A32，A33A_{33}A33和∣A∣|A|∣A∣的相等，所以：
a11A31+a12A32+a13A33=0a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33}=0\\ a11A31+a12A32+a13A33=0

重要公式

上（下）三角行列式的值：∣a11a12…a1n0a22…a2n⋮⋮⋮00…ann∣=∣a110…0a21a22…0⋮⋮⋮an1an2…ann∣=a11a22…ann\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots& a_{1n}\\0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\ldots& 0\\a_{21}&a_{22}&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann=a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann=a11a22…ann
副对角线行列式的值：∣a11a12…a1na21a22…0⋮⋮⋮an10…0∣=∣0…0a1n0…a2(n−1)a2n⋮⋮⋮an1…an(n−1)ann∣=(−1)n(n−1)2a1na2(n−1)…an1\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots& a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&0&\ldots&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&\dots&0& a_{1n}\\0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{n(n-1)}&a_{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}\dots a_{n1}a11a21⋮an1a12a22⋮0………a1n0⋮0=00⋮an1………0a2(n−1)⋮an(n−1)a1na2n⋮ann=(−1)2n(n−1)a1na2(n−1)…an1
范德蒙行列式：
∣11…1a1a2…ana12a22…an2⋮⋮⋮a1n−1a2n−1…ann−1∣=∏1≤j1a1a12⋮a1n−11a2a22⋮a2n−1…………1anan2⋮ann−1=1≤j 证明：假设n−1n-1n−1时，∣An−1∣=∏1≤j ∣11…10a2−a1…an−a10a22−a1a2…an2−a1an⋮⋮⋮0a2n−1−a1a2n−2…ann−1−anann−2∣=∣a2−a1a3−a1…an−a1a2(a2−a1)a3(a3−a1)…an(an−a1)⋮⋮⋮a2n−1(a2−a1)a3n−1(a3−a1)…ann−1(an−a1)∣=(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)∣11…1a1a2…ana12a22…an2⋮⋮⋮a1n−2a2n−2…ann−2∣=(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)∏1≤j100⋮01a2−a1a22−a1a2⋮a2n−1−a1a2n−2…………1an−a1an2−a1an⋮ann−1−anann−2 =a2−a1a2(a2−a1)⋮a2n−1(a2−a1)a3−a1a3(a3−a1)⋮a3n−1(a3−a1)………an−a1an(an−a1)⋮ann−1(an−a1) =(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)1a1a12⋮a1n−21a2a22⋮a2n−2…………1anan2⋮ann−2 =(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)1≤j
拉普拉斯展开式：
∣Am∗OBn∣=∣AmO∗Bn∣=∣Am∣∗∣Bn∣\begin{vmatrix}A_m&*\\O&B_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_m&O\\*&B_n\end{vmatrix}=|A_m|*|B_n|AmO∗Bn=Am∗OBn=∣Am∣∗∣Bn∣ ∣OAmBn∗∣=∣∗AmBnO∣=(−1)nm∣Am∣∗∣Bn∣\begin{vmatrix}O&A_m\\B_n&*\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&A_m\\B_n&O\end{vmatrix}=(-1)^{nm}|A_m|*|B_n|OBnAm∗=∗BnAmO=(−1)nm∣Am∣∗∣Bn∣
特征多项式：设A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)是333阶矩阵，则AAA的特征多项式∣λE−A∣=λ3−(a11+a22+a33)λ2+s2λ−∣A∣\begin{vmatrix}\lambda E-A \end{vmatrix}=\lambda^{3}-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+s_2\lambda-|A|λE−A=λ3−(a11+a22+a33)λ2+s2λ−∣A∣其中s2=∣a11a12a21a22∣+∣a11a13a31a33∣+∣a11a22a32a33∣s_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{22}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}s2=a11a21a12a22+a11a31a13a33+a11a32a22a33

克拉默法则

若nnn个未知数、nnn个方程的线性方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\dots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n\\\end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn的系数行列式：D=∣A∣=∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣≠0D=|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}≠0D=∣A∣=a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann=0则方程组有唯一解：x1=D1D,x2=D2D,…,xn=DnDx_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots,x_n=\frac{D_n}{D}x1=DD1,x2=DD2,…,xn=DDn其中Dj=∑i=1nbiAij=∣a11…a1,j−1b1a1,j+1…a1na21…a2,j−1b2a2,j+1…a2n⋮⋮⋮⋮⋮an1…an,j−1b1an,j+1…ann∣(j=1,2,…,n)D_j=\sum_{i=1}^nb_iA_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&\dots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&\dots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\dots&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{n,j-1}&b_1&a_{n,j+1}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}(j=1,2,\dots,n)Dj=i=1∑nbiAij=a11a21⋮an1………a1,j−1a2,j−1⋮an,j−1b1b2⋮b1a1,j+1a2,j+1⋮an,j+1………a1na2n⋮ann(j=1,2,…,n)
若齐次方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0…an1x1+an2x2+⋯+annxn=0\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=0\\\dots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=0\\\end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0…an1x1+an2x2+⋯+annxn=0的系数行列式D≠0D\neq0D=0，则方程组只有零解。若有非零解，则系数行列式D=0D=0D=0。

补充知识

∑i=1nkai=k∑i=1nai\sum_{i=1}^nka_i=k\sum_{i=1}^na_i i=1∑nkai=ki=1∑nai
∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i i=1∑n(ai+bi)=i=1∑nai+i=1∑nbi
∑i=1m∑j=1naij=∑j=1n∑i=1maij\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ij} i=1∑mj=1∑naij=j=1∑ni=1∑maij

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

上一篇：华为OD机试题，用 Java 解【乱序整数序列两数之和绝对值最小】问题 | 含解题说明

下一篇：opengauss源码分析：线程系统和内存系统

线性代数——行列式

文章目录