一、复数定义

复数 z=a+biz=a+biz=a+bi 的实部为 aaa，虚部为 bbb。复数的模长 ∣z∣|z|∣z∣ 定义为 ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}∣z∣=a2+b2​，即复数在复平面上的长度。复数与正实轴之间的夹角 θ\thetaθ 称为辐角。

二、实部虚部转换为模长幅角

公式

从实部 aaa 和虚部 bbb 转换到模长 ∣z∣|z|∣z∣ 和辐角 θ\thetaθ：∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}∣z∣=a2+b2​，θ=arctan⁡(ba)\theta=\arctan(\frac{b}{a})θ=arctan(ab​)。

代码

import cmath
# 输入实部和虚部
a = float(input("请输入实部："))
b = float(input("请输入虚部："))
# 计算模长和辐角
z = complex(a, b)
r = abs(z)
theta = cmath.phase(z)
# 输出结果
print("复数的模长为：", r)
print("复数的辐角为：", theta)

三、模长幅角转换为实部虚部

公式

从模长 ∣z∣|z|∣z∣ 和辐角 θ\thetaθ 转换到实部 aaa 和虚部 bbb：a=∣z∣cos⁡θa=|z|\cos\thetaa=∣z∣cosθ，b=∣z∣sin⁡θb=|z|\sin\thetab=∣z∣sinθ。

代码

import cmath
# 输入模长和辐角
r = float(input("请输入模长："))
theta = float(input("请输入辐角（以弧度为单位）："))
# 计算实部和虚部
a = r * cmath.cos(theta)
b = r * cmath.sin(theta)
# 输出结果
print("复数的实部为：", a)
print("复数的虚部为：", b)

四、注意事项

另外，需要注意的是，辐角 θ\thetaθ 在计算时需要根据 aaa 和 bbb 的符号来确定符号，具体规则如下：

若 a>0a>0a>0，b>0b>0b>0 或 a>0a>0a>0，b<0b<0b<0，则 0≤θ<π20\leq\theta<\frac{\pi}{2}0≤θ<2π​ 或 −π2<θ<0-\frac{\pi}{2}<\theta<0−2π​<θ<0。

若 a<0a<0a<0，b>0b>0b>0 或 a<0a<0a<0，b<0b<0b<0，则 π2<θ<π\frac{\pi}{2}<\theta<\pi2π​<θ<π 或 −π<θ<−π2-\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}−π<θ<−2π​。