基本概念

总体：研究对象的总体，比如
- 研究某厂生产的一批灯泡质量的好坏，总体就为这批灯泡的全体
- 研究淘宝的用户，总体就为淘宝的所有用户
个体：总体中的单个对象
样本：从总体中抽样一部分出来，这一部分就称为样本，样本的大小称为样本容量。样本变量用(X1,X2,....,Xn)(X_1,X_2,....,X_n)(X1,X2,....,Xn)表示，每个样本也称为随机变量
观测值：对于样本中的每个样本，都会有一个具体的值，这个值称为观测值。观测值用(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)(x1,x2,...,xn)表示
独立：每次抽样之间没有关系，不会相互影响
同分布：每次抽样，样本服从同一分布，比如每次抛骰子概率都是六分之一。独立同分布也简称为i.i.d.

统计量

样本的统计量：

名称	公式	说明
均值	X‾=1n∑i=1nXi\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_iX=n1∑i=1nXi
方差	S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2=1n−1∑i=1n(Xi2−nX‾2)S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i^2-n\overline X^2)S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2=n−11∑i=1n(Xi2−nX2)	分母为n−1n-1n−1，表示样本方差是总体方差的无偏估计
标准差	S
样本K阶原点矩	Mk=1n∑i=1nXikM_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^kMk=n1∑i=1nXik	k=1k=1k=1时，即为均值
样本K阶中心距	Mk∗=1n∑i=1n(Xi−X‾)kM_k^*=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^kMk∗=n1∑i=1n(Xi−X)k	k=2k=2k=2时，即位未修正的方差

样本均值与方差的性质：

设总体XXX的均值为EX=μEX=\muEX=μ，方差为DX=σ2DX=\sigma^2DX=σ2，样本(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1,X2,...,Xn)来自总体XXX，则：

总体方差和总体均值的关系

DX=EX2−(EX)2DX=EX^2-(EX)^2DX=EX2−(EX)2

离散型随机变量：

P(x)=P(X=x)P(x)=P(X=x)P(x)=P(X=x) F(x)=P(X≤x)=∑xk≤xPxkF(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_k \leq x }P_{x_k}F(x)=P(X≤x)=xk≤x∑Pxk

连续型随机变量：

P(x)=f(x)P(x)=f(x)P(x)=f(x) F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^xf(t)dtF(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t)dt F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)

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