Day36

01背包理论基础

01背包

• 有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

• 暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化

• 背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

二维dp数组01背包

• 确定dp数组以及下标的含义

• dp[i] [j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

• 确定递推公式

• 那么可以有两个方向推出来dp[i] [j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1] [j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i] [j]就是dp[i - 1] [j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)

• 放物品i：由dp[i - 1] [j - weight[i]]推出，dp[i - 1] [j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);

• dp数组如何初始化

• 如果背包容量j为0的话，即dp[i] [0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

• dp[0] [j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0] [j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0] [j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

• 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖

• 确定遍历顺序

• 都可以，但是先遍历物品更好理解

public class 零一背包 {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);//0    15    15    15    15    //0    15    15    20    35    //0    15    15    20    35}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {int[][] dp = new int[weight.length][bagSize + 1];//初始化dp数组for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++){//当背包容量为0的时候，dp[i][0] = 0dp[0][j] = value[0];//这里处理的是dp[0][j]，当容量比第一个物品重量大，才不为零}for (int i = 1; i < weight.length; i++){for (int j = 1; j <= bagSize; j++){if (j < weight[i]){//如果第i个物品的重量比背包容量都大，一定放不进去dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{//取不放第i个物品，和放第i个物品（但有可能要把之前放进去的物品取出）这两种情况最大值dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}for (int i = 0; i < weight.length; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println();//打印dp数组}}
}

01背包理论基础（滚动数组）

一维dp数组（滚动数组）

• 对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

• 在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);

• 其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dpi = max(dpi, dpi] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

• 这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

• 确定dp数组的定义

• 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

• 一维dp数组的递推公式

• dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

• dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

• 一维dp数组如何初始化

• dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

• 如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了

• 一维dp数组遍历顺序

• 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次

public class 一维背包 {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagSize);//0    15    15    20    35    }public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {int[] dp = new int[bagSize + 1];//dp数组容量为bagSize + 1for (int i = 0; i < weight.length; i++){//遍历物品for (int j = bagSize; j >= weight[i]; j--){//遍历背包，倒序遍历，而且只更新容量比当前物品重量大的部分dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);}}for (int j = 0; j <= bagSize; j++){System.out.print(dp[j] + "\t");}}
}

416. 分割等和子集

力扣题目链接

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

思路

• 可以转换成01背包问题

• 每个元素都是物品，重量和价值都是nums[i]，背包容量是sum / 2

• 看背包能不能正好装满

代码

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;//先计算数组元素的和}if (sum % 2 == 1) return false;//如果和是奇数，那就无法分割int target = sum / 2;//转换成要从数组中找元素，这些元素和能不能正好是targetint[] dp = new int[target + 1];//背包容量是target，看能不能装满for (int i = 0; i < nums.length; i++){//遍历数组，就是物品，每个物品的重量和价值都是nums[i]for (int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}return dp[target] == target;//最后要看看能不能正好装满}
}