算法思想：贪心算法

实际问题：单源最短路径

编程语言：Java

问题描述

  单源最短路径算法，又称迪杰斯特拉算法。其目的是寻找从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。

算法构造

相关解释

• 观测域：假设起点为v点，观测域便为v点的四周，即v的所有邻接点；
• 点集 V：图中所有点的集合；
• 点集 S：已经找到最短路径的终点集合；
• 数组 D：存储观测域内能观测到的最短路径，算上起点一共 n 个数值。比如 D[k] 对应在观测域中能观测到的，到顶点 k 的最短路径；
• 邻接矩阵 a：存储着有权图中的边的信息，是一个二维数组。比如 a[1][2] = 5 表示在有权图中，点 1 和点 2 之间有边，且边的权值为 5。如果两点之间没边，则用负数或则无穷大(∞)表示。

算法步骤

• 第一步：初始化点集 S，将起点 v 收入 S 中。初始化数组 D：D[k] = a[v][k]；
• 第二步：找寻次短路径。即查找数组 D，找出观测域中最短路径(v, j)：D[j] = min(D[k] | k 不属于 S)。将点 j 加入点集 S 中；
• 第三步：将 j 的邻接点并入观测域，即用 j 的邻接点更新数组 D；
• 第四步：不断重复第二步和第三步，直到节点全部压入 S 中为止。

注：贪心算法的思想主要就体现在第二步和第三步之中。

Java 代码

  本代码求解的是无向有权图的最短路径，如果想求有向有权图的最短路径，则只需要将无向图的邻接矩阵改为有向图的邻接矩阵即可。

import java.util.Scanner;public class SSSP
{public static void main(String[] args){Scanner input = new Scanner(System.in);System.out.print("请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：");int n = input.nextInt(); //顶点的个数int m = input.nextInt(); //边的个数System.out.println();int[][] a = new int[n + 1][n + 1];//初始化邻接矩阵for(int i = 0; i < a.length; i++){for(int j = 0; j < a.length; j++){a[i][j] = -1; //初始化没有边}}System.out.println("请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)：");//总共m条边for(int i = 0; i < m; i++){//起点，范围1到nint s = input.nextInt();//终点，范围1到nint e = input.nextInt();//长度int l = input.nextInt();if(s >= 1 && s <= n && e >= 1 && e <= n){//无向有权图a[s][e] = l;a[e][s] = l;}}System.out.println();//距离数组int[] dist = new int[n+1];//前驱节点数组int[] prev = new int[n+1];int v =1 ;//顶点，从1开始dijkstra(v, a, dist, prev);}/*** 单源最短路径算法(迪杰斯特拉算法)* @param v 顶点* @param a 邻接矩阵表示图* @param dist 从顶点v到每个点的距离* @param prev 前驱节点数组*/public static void dijkstra(int v, int[][] a, int[] dist, int[] prev){int n = dist.length;/*** 顶点从1开始，到n结束，一共n个结点*/if(v > 0 && v <= n){//顶点是否放入的标志boolean[] s = new boolean[n];//初始化for(int i = 1; i < n; i++){//初始化为 v 到 i 的距离dist[i] = a[v][i];//初始化顶点未放入s[i] = false;//v到i无路，i的前驱节点置空if(dist[i] == -1){prev[i] = 0;}else{prev[i] = v;}}//v到v的距离是0dist[v] = 0;//顶点放入s[v] = true;//共扫描n-2次，v到v自己不用扫for(int i = 1; i < n - 1; i++){int temp = Integer.MAX_VALUE;//u为下一个被放入的节点int u = v;//这个for循环为第二步，观测域为v的观测域//遍历所有顶点找到下一个距离最短的点for(int j = 1; j < n; j++){//j未放入，且v到j有路，且v到当前节点路径更小if(!s[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < temp){u = j;//temp始终为最小的路径长度temp = dist[j];}}//将得到的下一节点放入s[u] = true;//这个for循环为第三步，用u更新观测域for(int k = 1; k < n; k++){if(!s[k] && a[u][k] != -1){int newdist=dist[u] + a[u][k];if(newdist < dist[k] || dist[k] == -1){dist[k] = newdist;prev[k] = u;}}}}}for(int i = 2; i < n; i++){System.out.println(i + "节点的最短距离是："+ dist[i] + "；前驱点是：" + prev[i]);}}
}